「力扣」第 210 题：课程表 II

「力扣」第 210 题：课程表 II

• 链接：210. 课程表 II；
• 题解地址：拓扑排序 + 深度优先遍历（Python 代码、Java 代码）；

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。

可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。

示例 1:

输入: 2, [[1,0]]
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
示例 2:

输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
说明:

输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
提示:

这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

拓扑排序 + 深度优先遍历（Python 代码、Java 代码）

这两种思路都可以完成 LeetCode 第 207 题。

方法一：拓扑排序（Kahn 算法）

拓扑排序实际上应用的是贪心算法，贪心算法简而言之：每一步最优，则全局最优。具体到拓扑排序，每一次都输出入度为 $0$ 的结点，并移除它、修改它指向的结点的入度，依次得到的结点序列就是拓扑排序的结点序列。如果图中还有结点没有被移除，则说明“不能完成所有课程的学习”。

拓扑排序保证了每个活动（在这题中是“课程”）的所有前驱活动都排在该活动的前面，并且可以完成所有活动。拓扑排序的结果不唯一。拓扑排序还可以用于检测一个有向图是否有环。相关的概念还有 AOV 网，这里就不展开了。

算法流程：

1、在开始排序前，扫描对应的存储空间（使用邻接表），将入度为 $0$ 的结点放入队列。

2、只要队列非空，就从队首取出入度为 $0$ 的结点，将这个结点输出到结果集中，并且将这个结点的所有邻接结点（它指向的结点）的入度减 $1$，在减 $1$ 以后，如果这个被减 $1$ 的结点的入度为 $0$ ，就继续入队。

3、当队列为空的时候，检查结果集中的顶点个数是否和课程数相等即可。

（思考这里为什么要使用队列？如果不用队列，还可以怎么做，会比用队列的效果差还是更好？）

在代码具体实现的时候，除了保存入度为 $0$ 的队列，我们还需要两个辅助的数据结构：

1、邻接表：通过结点的索引，我们能够得到这个结点的后继结点；

2、入度数组：通过结点的索引，我们能够得到指向这个结点的结点个数。

这个两个数据结构在遍历题目给出的邻边以后就可以很方便地得到。

参考代码 1：

Python 代码：

class Solution(object):
    def findOrder(self, numCourses, prerequisites):
        """
        :type numCourses: int 课程门数
        :type prerequisites: List[List[int]] 课程与课程之间的关系
        :rtype: bool
        """
        # 课程的长度
        clen = len(prerequisites)
        if clen == 0:
            # 没有课程，当然可以完成课程的学习
            return [i for i in range(numCourses)]
        # 入度数组，一开始全部为 0
        in_degrees = [0 for _ in range(numCourses)]
        # 邻接表
        adj = [set() for _ in range(numCourses)]
        # 想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
        # 1 -> 0，这里要注意：不要弄反了
        for second, first in prerequisites:
            in_degrees[second] += 1
            adj[first].add(second)

        # print("in_degrees", in_degrees)
        # 首先遍历一遍，把所有入度为 0 的结点加入队列
        res = []
        queue = []
        for i in range(numCourses):
            if in_degrees[i] == 0:
                queue.append(i)

        while queue:
            top = queue.pop(0)
            res.append(top)

            for successor in adj[top]:
                in_degrees[successor] -= 1
                if in_degrees[successor] == 0:
                    queue.append(successor)
        if len(res) != numCourses:
            return []
        return res

Java 代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.HashSet;
import java.util.LinkedList;

/**
 * 使用拓扑排序来完成
 *
 * @author liwei
 * @date 18/6/24 下午3:11
 */
public class Solution {

    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        // 先处理极端情况
        if (numCourses <= 0) {
            return new int[0];
        }
        // 邻接表表示
        HashSet[] graph = new HashSet[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            graph[i] = new HashSet<>();
        }
        // 入度表
        int[] inDegree = new int[numCourses];
        // 遍历 prerequisites 的时候，把 邻接表 和 入度表 都填上
        for (int[] p : prerequisites) {
            graph[p[1]].add(p[0]);
            inDegree[p[0]]++;
        }
        LinkedList queue = new LinkedList<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (inDegree[i] == 0) {
                queue.addLast(i);
            }
        }
        ArrayList res = new ArrayList<>();
        while (!queue.isEmpty()) {
            // 当前入度为 0 的结点
            Integer inDegreeNode = queue.removeFirst();
            // 加入结果集中
            res.add(inDegreeNode);
            // 下面从图中删去
            // 得到所有的后继课程，接下来把它们的入度全部减去 1
            HashSet nextCourses = graph[inDegreeNode];
            for (Integer nextCourse : nextCourses) {
                inDegree[nextCourse]--;
                // 马上检测该结点的入度是否为 0，如果为 0，马上加入队列
                if (inDegree[nextCourse] == 0) {
                    queue.addLast(nextCourse);
                }
            }
        }
        // 如果结果集中的数量不等于结点的数量，就不能完成课程任务，这一点是拓扑排序的结论
        int resLen = res.size();
        if (resLen == numCourses) {
            int[] ret = new int[numCourses];
            for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
                ret[i] = res.get(i);
            }
            return ret;
        } else {
            return new int[0];
        }
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(E + V)$。这里 $E$ 表示邻边的条数，$V$ 表示结点的个数。初始化入度为 $0$ 的集合需要遍历整张图，具体做法是检查每个结点和每条边，因此复杂度为 $O(E+V)$，然后对该集合进行操作，又需要遍历整张图中的每个结点和每条边，复杂度也为 $O(E+V)$；
• 空间复杂度：$O(V)$：入度数组、邻接表的长度都是结点的个数 $V$，即使使用队列，队列最长的时候也不会超过 $V$，因此空间复杂度是 $O(V)$。

方法二：深度优先遍历

这里要使用逆邻接表。其实就是检测这个有向图中有没有环，只要存在环，这些课程就不能按要求学完。

算法流程：

第 1 步：构建逆邻接表；

第 2 步：递归处理每一个还没有被访问的结点，具体做法很简单：对于一个结点来说，先输出指向它的所有顶点，再输出自己。

第 3 步：如果这个顶点还没有被遍历过，就递归遍历它，把所有指向它的结点都输出了，再输出自己。注意：当访问一个结点的时候，应当先递归访问它的前驱结点，直至前驱结点没有前驱结点为止。

参考代码 2：

Python 代码：

class Solution(object):

    def findOrder(self, numCourses, prerequisites):
        """
        :type numCourses: int 课程门数
        :type prerequisites: List[List[int]] 课程与课程之间的关系
        :rtype: bool
        """
        # 课程的长度
        clen = len(prerequisites)
        if clen == 0:
            # 没有课程，当然可以完成课程的学习
            return [i for i in range(numCourses)]

        # 逆邻接表
        inverse_adj = [set() for _ in range(numCourses)]
        # 想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
        # 1 -> 0，这里要注意：不要弄反了
        for second, first in prerequisites:
            inverse_adj[second].add(first)

        visited = [0 for _ in range(numCourses)]
        # print("in_degrees", in_degrees)
        # 首先遍历一遍，把所有入度为 0 的结点加入队列

        res = []
        for i in range(numCourses):
            if self.__dfs(i,inverse_adj, visited, res):
                return []
        return res

    def __dfs(self, vertex, inverse_adj, visited, res):
        """
        注意：这个递归方法的返回值是返回是否有环
        :param vertex: 结点的索引
        :param inverse_adj: 逆邻接表，记录的是当前结点的前驱结点的集合
        :param visited: 记录了结点是否被访问过，2 表示当前正在 DFS 这个结点
        :return: 是否有环
        """
        # 2 表示这个结点正在访问
        if visited[vertex] == 2:
            # DFS 的时候如果遇到一样的结点，就表示图中有环，课程任务便不能完成
            return True
        if visited[vertex] == 1:
            return False
        # 表示正在访问这个结点
        visited[vertex] = 2
        # 递归访问前驱结点
        for precursor in inverse_adj[vertex]:
            # 如果没有环，就返回 False，
            # 执行以后，逆拓扑序列就存在 res 中
            if self.__dfs(precursor, inverse_adj, visited, res):
                return True

        # 能走到这里，说明所有的前驱结点都访问完了，所以可以输出了
        # 并且将这个结点状态置为 1
        visited[vertex] = 1

        # 先把 vertex 这个结点的所有前驱结点都输出之后，再输出自己
        res.append(vertex)
        # 最后不要忘记返回 False 表示无环
        return False

Java 代码：

import java.util.HashSet;
import java.util.Stack;

/**
 * @author liwei
 * @date 18/6/24 下午4:10
 */
public class Solution3 {

    /**
     * @param numCourses
     * @param prerequisites
     * @return
     */
    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        if (numCourses <= 0) {
            // 连课程数目都没有，就根本没有办法完成练习了，根据题意应该返回空数组
            return new int[0];
        }
        int plen = prerequisites.length;
        if (plen == 0) {
            // 没有有向边，则表示不存在课程依赖，任务一定可以完成
            int[] ret = new int[numCourses];
            for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
                ret[i] = i;
            }
            return ret;
        }
        int[] marked = new int[numCourses];
        // 初始化有向图 begin
        HashSet[] graph = new HashSet[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            graph[i] = new HashSet<>();
        }
        // 初始化有向图 end
        // 有向图的 key 是前驱结点，value 是后继结点的集合
        for (int[] p : prerequisites) {
            graph[p[1]].add(p[0]);
        }
        // 使用 Stack 或者 List 记录递归的顺序，这里使用 Stack
        Stack stack = new Stack<>();
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (dfs(i, graph, marked, stack)) {
                // 注意方法的语义，如果图中存在环，表示课程任务不能完成，应该返回空数组
                return new int[0];
            }
        }
        // 在遍历的过程中，一直 dfs 都没有遇到已经重复访问的结点，就表示有向图中没有环
        // 所有课程任务可以完成，应该返回 true
        // 下面这个断言一定成立，这是拓扑排序告诉我们的结论
        assert stack.size() == numCourses;
        int[] ret = new int[numCourses];
        // 想想要怎么得到结论，我们的 dfs 是一致将后继结点进行 dfs 的
        // 所以压在栈底的元素，一定是那个没有后继课程的结点
        // 那个没有前驱的课程，一定在栈顶，所以课程学习的顺序就应该是从栈顶到栈底
        // 依次出栈就好了
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            ret[i] = stack.pop();
        }
        return ret;
    }

    /**
     * 注意这个 dfs 方法的语义
     *
     * @param i      当前访问的课程结点
     * @param graph
     * @param marked 如果 == 1 表示正在访问中，如果 == 2 表示已经访问完了
     * @return true 表示图中存在环，false 表示访问过了，不用再访问了
     */
    private boolean dfs(int i,
                        HashSet[] graph,
                        int[] marked,
                        Stack stack) {
        // 如果访问过了，就不用再访问了
        if (marked[i] == 1) {
            // 从正在访问中，到正在访问中，表示遇到了环
            return true;
        }
        if (marked[i] == 2) {
            // 表示在访问的过程中没有遇到环，这个节点访问过了
            return false;
        }
        // 走到这里，是因为初始化呢，此时 marked[i] == 0
        // 表示正在访问中
        marked[i] = 1;
        // 后继结点的集合
        HashSet successorNodes = graph[i];
        for (Integer successor : successorNodes) {
            if (dfs(successor, graph, marked, stack)) {
                // 层层递归返回 true ，表示图中存在环
                return true;
            }
        }
        // i 的所有后继结点都访问完了，都没有存在环，则这个结点就可以被标记为已经访问结束
        // 状态设置为 2
        marked[i] = 2;
        stack.add(i);
        // false 表示图中不存在环
        return false;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(E + V)$；
• 空间复杂度：$O(V)$。

LeetCode 第 210 题：课程表 II

传送门：210. 课程表 II。

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。

可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。

示例 1:

输入: 2, [[1,0]] 
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。

示例 2:

输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
  因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。

说明:

1. 输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
2. 你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。

提示:

1. 这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
2. 通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
3. 拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

思路1：拓扑排序。

Python 代码：

class Solution(object):
    def findOrder(self, numCourses, prerequisites):
        """
        :type numCourses: int 课程门数
        :type prerequisites: List[List[int]] 课程与课程之间的关系
        :rtype: bool
        """
        # 课程的长度
        clen = len(prerequisites)
        if clen == 0:
            # 没有课程，当然可以完成课程的学习
            return [i for i in range(numCourses)]
        # 入度数组，一开始全部为 0
        in_degrees = [0 for _ in range(numCourses)]
        # 邻接表
        adj = [set() for _ in range(numCourses)]
        # 想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
        # 1 -> 0，这里要注意：不要弄反了
        for second, first in prerequisites:
            in_degrees[second] += 1
            adj[first].add(second)

        # print("in_degrees", in_degrees)
        # 首先遍历一遍，把所有入度为 0 的结点加入队列
        res = []
        queue = []
        for i in range(numCourses):
            if in_degrees[i] == 0:
                queue.append(i)

        while queue:
            top = queue.pop(0)
            res.append(top)

            for successor in adj[top]:
                in_degrees[successor] -= 1
                if in_degrees[successor] == 0:
                    queue.append(successor)
        if len(res) != numCourses:
            return []
        return res

思路2：基于逆邻接表的深度优先遍历。

Python 代码：

class Solution(object):

    def findOrder(self, numCourses, prerequisites):
        """
        :type numCourses: int 课程门数
        :type prerequisites: List[List[int]] 课程与课程之间的关系
        :rtype: bool
        """
        # 课程的长度
        clen = len(prerequisites)
        if clen == 0:
            # 没有课程，当然可以完成课程的学习
            return [i for i in range(numCourses)]

        # 逆邻接表
        inverse_adj = [set() for _ in range(numCourses)]
        # 想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]
        # 1 -> 0，这里要注意：不要弄反了
        for second, first in prerequisites:
            inverse_adj[second].add(first)

        visited = [0 for _ in range(numCourses)]
        # print("in_degrees", in_degrees)
        # 首先遍历一遍，把所有入度为 0 的结点加入队列

        res = []
        for i in range(numCourses):
            if self.__dfs(i,inverse_adj, visited, res):
                return []
        return res

    def __dfs(self, vertex, inverse_adj, visited, res):
        """
        注意：这个递归方法的返回值是返回是否有环
        :param vertex: 结点的索引
        :param inverse_adj: 逆邻接表，记录的是当前结点的前驱结点的集合
        :param visited: 记录了结点是否被访问过，2 表示当前正在 DFS 这个结点
        :return: 是否有环
        """
        # 2 表示这个结点正在访问
        if visited[vertex] == 2:
            # DFS 的时候如果遇到一样的结点，就表示图中有环，课程任务便不能完成
            return True
        if visited[vertex] == 1:
            return False
        # 表示正在访问这个结点
        visited[vertex] = 2
        # 递归访问前驱结点
        for precursor in inverse_adj[vertex]:
            # 如果没有环，就返回 False，
            # 执行以后，逆拓扑序列就存在 res 中
            if self.__dfs(precursor, inverse_adj, visited, res):
                return True

        # 能走到这里，说明所有的前驱结点都访问完了，所以可以输出了
        # 并且将这个结点状态置为 1
        visited[vertex] = 1

        # 先把 vertex 这个结点的所有前驱结点都输出之后，再输出自己
        res.append(vertex)
        # 最后不要忘记返回 False 表示无环
        return False

（本节完）

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二、关键路径

重要的概念：（1）关键路径（理解为什么是权值最大的）（2）关键活动

参考资料：

1、《大话数据结构》

2、极客时间《算法与数据结构之美》，作者：王争

3、自己以前写的题解：

LeetCode 题解之 207. Course Schedule（拓扑排序模板题 1 ）

https://blog.csdn.net/lw_power/article/details/80795288

LeetCode 题解之 210. Course Schedule II（拓扑排序模板题 2 ）

https://blog.csdn.net/lw_power/article/details/80795355

4、深入理解拓扑排序（Topological sort)

https://www.jianshu.com/p/3347f54a3187

拓扑排序和 dfs

解决一个有依赖的工程是否能够完成。

拓扑排序和关键路径问题。

1、AOV 网：与顶点相关。图中不允许有回路。

2、AOE 网：与边相关。整个任务是否能够完成取决于最长的关键路径。

使用拓扑排序判断 DAG 是否有回路。

LeetCode 第 207 题：课程表

参考资料：https://blog.csdn.net/ljiabin/article/details/45846837

拓扑排序的原理：在一个有向图中，每次找到一个没有前驱节点的结点（也就是入度为 0 的结点），然后把它指向的结点的边都去掉，==重复这个过程（BFS）==，直到所有结点已被找到，或者没有符合条件的节点（如果图中有环存在）。

回顾一下图的三种表示方式：

1、边表示法（即题目中表示方法）；

2、邻接表法；

3、邻接矩阵表示法。

用邻接表存储图比较方便寻找入度为 $0$ 的节点。

拓扑排序以及拓扑排序的伪代码：

拓扑排序的写法：

https://blog.csdn.net/qq508618087/article/details/50748965

LeetCode 第 210 题：课程表 II

要求返回一种拓扑排序的结果。

参考资料：http://zxi.mytechroad.com/blog/graph/leetcode-210-course-schedule-ii/

dfs 的做法：Java 的写法以被指向的课程作为键。

注意：下面这个 dfs 的方法，有向图的表示以先行课程作为键。

参考资料：拓扑排序：https://mp.weixin.qq.com/s/rRIz_rsp6I9zX-EiOjCCaQ

（本节完）