「力扣」第 188 题：买卖股票的最佳时机 IV
给定一个数组，它的第
i个元素是一支给定的股票在第i天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成
k笔交易。注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入: [2, 4, 1], k = 2 输出: 2 解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。示例 2：
输入: [3, 2, 6, 5, 0, 3], k = 2 输出: 7 解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。 随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
首先需要判断的一点是，一次交易至少需要 2 天，一天买，一天卖。因此如果 k 很大，大到大于等于 len / 2，就相当于股票系列的第 2 题，使用贪心算法去做就可以了。这是一个特判。
这道题用动态规划完成，比之前的股票问题多一个限制，则有后效性，因此可以多设置一个状态去消除这种后效性。
“无后效性”有两层含义：（1）当前做的决策一旦确定，后面的决策不会影响到之前决策的结果；（2）当前决策得到一个最优值，这个最优值怎么来的，后面的决策并不关心。
以下是解题步骤。
第 1 步：状态定义
比较容易想到的是：先阶段，即第几天，然后是状态 1，即处在第几个交易，再是状态 2，即现在是持股还是不持股。
设置持股的状态值为 1，不持股的时候，状态值为 0。
为此设计状态如下：
dp[i][j][K] ：表示到第 i 天为止，已经交易了 j 次，并且当前持股状态为 K 的最大收益。
说明：
- 到第
i天为止（从0开始计算，到len - 1），考虑的区间是[0, i]，这里len为数组prices的长度； - 已经交易了
j次，j从0开始计算，到k - 1为止； - 持股状态
K（大写）只有 2 个值：0和1。0表示不持股，1表示持股，为了与k区分，因此使用K（大写）。
第 2 步：状态转移方程
下面考虑 dp[i][j][0] 和 dp[i][j][1] 可以怎样转移过来。
动态规划用于解决多阶段的决策问题，这里的阶段就是每一天，因此，状态都是从前一天的某一个之前的状态转移过来。
dp[i][j][0]：表示这一天发生了第j次交易（从0开始），并且不持股。
我是这样定义交易行为的：发生交易的标志是在某一天有了一次购买股票的行为，视为发生一次交易。发生一次抛售股票的行为，认为和上一次购买股票在一次交易行为内。
分类讨论的依据是：昨天是否持股。
（1）昨天不持股，今天还不持股，说明没有发生新的交易；
（2）昨天持股，今天不持股，说明这次交易结束了。这两种情况都在一次交易里。
二者取最大值，即：
dp[i][j][0] = max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i])注意：中间的那个表示交易次数的状态都是 j。
dp[i][j][1]：表示这一天发生了第j次交易（从0开始），并且持股。
分类讨论的依据依然是：昨天是否持股。
（1）昨天持股，今天还持股，说明没有发生新的交易，这两天在同一个交易区间里；
（2）昨天不持股，今天持股，说明开启了一次新的交易。
二者取最大值，即：
dp[i][j][1] = max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i])第 3 步： 初始化
- 所有不持股的状态值初始化的时候为
0。所有持股的状态值都设置为一个很大的负数（至少应该是最大的股价的负数 - 1），表示未知。 - 这里
i和j下标都有-1，所以i和j可以多设置一行，以避免复杂的分类讨论。以下只展示不多设置一行的代码。多设置一行的代码留给读者完成。
第 4 步：输出
最后一个阶段的最后一个状态，且是不持股的那个状态，即 dp[len - 1][k - 1][0]（i 和 j 不多设置一行的时候）。
第 5 步：考虑状态压缩
注意到两个状态转移方程，当前行只依赖上一行，可以考虑使用“滚动数组”这个技巧。但是注意到：j 只依赖 j - 1，但是是另一张表的状态值，因此直接砍掉第一维即可。
先写出没有状态压缩的版本。
参考代码 1：
public class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int len = prices.length;
// 特判
if (k == 0 || len < 2) {
return 0;
}
if (k >= len / 2) {
return greedy(prices, len);
}
// dp[i][j][K]：到下标为 i 的天数为止（从 0 开始），到下标为 j 的交易次数（从 0 开始）
// 状态为 K 的最大利润，K = 0 表示不持股，K = 1 表示持股
int[][][] dp = new int[len][k][2];
// 初始化：把持股的部分都设置为一个较大的负值
for (int i = 0; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k; j++) {
dp[i][j][1] = -9999;
}
}
// 编写正确代码的方法：对两个"基本状态转移方程"当 i - 1 和 j - 1 分别越界的时候，做特殊判断，赋值为 0 即可
for (int i = 0; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k; j++) {
if (i == 0) {
dp[i][j][1] = -prices[0];
dp[i][j][0] = 0;
} else {
if (j == 0) {
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], -prices[i]);
} else {
// 基本状态转移方程 1
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
}
// 基本状态转移方程 2
dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
}
}
}
// 说明：i、j 状态都是前缀性质的，只需返回最后一个状态
return dp[len - 1][k - 1][0];
}
private int greedy(int[] prices, int len) {
// 转换为股票系列的第 2 题，使用贪心算法完成，思路是只要有利润，就交易
int res = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
if (prices[i - 1] < prices[i]) {
res += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return res;
}
}说明：状态数组 i 和 j 的部分可以分别多设置一行，这样在代码中可以少掉一些判断，请读者实现一下，进行对比。
再写出状态压缩的版本。
参考代码 2：
public class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int len = prices.length;
if (k == 0 || len < 2) {
return 0;
}
if (k >= len / 2) {
return greedy(prices, len);
}
int[][] dp = new int[k][2];
for (int j = 0; j < k; j++) {
dp[j][1] = -9999;
}
for (int price : prices) {
for (int j = 0; j < k ; j++) {
if (j == 0) {
dp[j][1] = Math.max(dp[j][1], -price);
} else {
// 基本状态转移方程 1
dp[j][1] = Math.max(dp[j][1], dp[j - 1][0] - price);
}
// 基本状态转移方程 2
dp[j][0] = Math.max(dp[j][0], dp[j][1] + price);
}
}
return dp[k - 1][0];
}
private int greedy(int[] prices, int len) {
int res = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
if (prices[i - 1] < prices[i]) {
res += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return res;
}
}说明：状态转移方程可以设置 k + 1 行，第一行全为 0，感兴趣的读者可以尝试一下。
下面是状态数组语义化的版本，与上面的代码没有本质差别，供读者比对。
参考代码 3：
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int len = prices.length;
if (len < 2 || k == 0) {
return 0;
}
if (k >= len / 2) {
return greedy(prices, len);
}
// k 次持股分别的状态
int[] stock = new int[k];
Arrays.fill(stock, -9999);
// k 次不持股（持有现金）分别的状态
int[] cash = new int[k];
for (int price : prices) {
for (int j = 0; j < k; j++) {
stock[j] = Math.max(stock[j], (j == 0 ? 0 : cash[j - 1]) - price);
cash[j] = Math.max(cash[j], stock[j] + price);
}
}
return cash[k - 1];
}
private int greedy(int[] prices, int len) {
int maxProfit = 0;
for (int i = 1; i < len; i++) {
if (prices[i] > prices[i - 1]) {
maxProfit += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return maxProfit;
}
}
