「力扣」第 198 题：打家劫舍（简单）
熟悉定义状态和状态转移，掌握「动态规划」的「自底向上」，递推去求解问题的方法。不是直接针对问题求解，而是把小规模的问题都解决了，再解决大问题。
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额。
示例 1:
输入: [1,2,3,1] 输出: 4 解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。 偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。示例 2:
输入: [2,7,9,3,1] 输出: 12 解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。 偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。
这一节我们讲解求线性规划问题的一般步骤：状态的定义和状态的转移。这里所说的一般步骤不是套路，而是求解这类问题必须要经历的两个步骤，动态规划的问题在算法问题中是比较具有艺术性的，一般而言没有固定的规律。
方法：动态规划（掌握「自底向上」思考问题的过程）
- 定义成二维表格的动态规划
- 技巧：增加哨兵，避免分类讨论
Java 代码：
public class Solution {
public int rob(int[] nums) {
int len = nums.length;
if (len == 0) {
return 0;
}
if (len == 1) {
return nums[0];
}
// 0 表示不偷
// 1 表示投
// 多加 1 天表示哨兵，相应地要做一些偏移
int[][] dp = new int[len + 1][2];
for (int i = 1; i <= len; i++) {
// 不偷由：昨天不偷，昨天偷转换而来
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] );
// 偷由：只能由昨天不偷转换来
// 注意这里有个偏移
dp[i][1] = dp[i - 1][0] + nums[i - 1];
}
return Math.max(dp[len][0],dp[len][1]);
}
}- 定义成一维表格的动态规划
状态定义：dp[i] 表示子区间 [0, i] 在不触动警报装置的情况下，能够偷窃到的最高金额；
状态转移方程：分类讨论：（1）偷 nums[i]； （2）不偷 nums[i]。
Java 代码：
public class Solution {
public int rob(int[] nums) {
int len = nums.length;
if (len == 0) {
return 0;
}
if (len == 1) {
return nums[0];
}
int[] dp = new int[len];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < len; i++) {
// 在偷 nums[i] 与不偷 nums[i] 中选择一个最大值
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i] + dp[i - 2]);
}
return dp[len - 1];
}
}Python 代码：
class Solution:
def rob(self, nums):
n = len(nums)
if n == 0:
return 0
dp = [-1] * n
# 前面这 4 行都是特判
if n <= 2:
return max(nums)
dp[0] = nums[0]
dp[1] = max(nums[0], nums[1])
# 状态的定义 dp[i]，考虑 [0,i] （包括物品 i 在内），能够偷取的物品的最大价值
for i in range(2, n):
# num[i] 偷和不偷，在这两种情况中选择一种
dp[i] = max(nums[i] + dp[i - 2], dp[i - 1])
return dp[-1]- 不同的状态定义（这个状态定义不太自然，仅供参考）
Java 代码：
public class Solution {
// dp[i]：区间 [i, len - 1] 偷取的最大价值
public int rob(int[] nums) {
int len = nums.length;
if (len == 0) {
return 0;
}
if (len == 1) {
return nums[0];
}
int[] dp = new int[len];
dp[len - 1] = nums[len - 1];
dp[len - 2] = Math.max(nums[len - 1], nums[len - 2]);
for (int i = len - 3; i >= 0; i--) {
dp[i] = Math.max(dp[i + 1], nums[i] + dp[i + 2]);
}
return dp[0];
}
}- 技巧：状态压缩（不用掌握，仅供参考，个人觉得这样的写法理解起来很费劲，不容易维护）
提示：状态转移，如果使用滚动变量的写法，可以把空间复杂度降到 $O(1)$。
Python 代码：
class Solution:
def rob(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
if size == 0:
return 0
if size <= 2:
return max(nums)
pre = nums[0]
cur = max(nums[0], nums[1])
for i in range(2, size):
temp = cur # 因为 cur 会被覆盖，所以先把 cur 存一下，最后再赋值给 pre
cur = max(cur, pre + nums[i])
pre = temp
return cur
