「力扣」第 714 题:买卖股票的最佳时机含手续费


「力扣」第 714 题:买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices,其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ;非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易,但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

这道题虽然增加了“手续费”这件事情,但是并没有给决策阶段造成什么影响,只是不能用贪心算法了,但是动态规划依然可以用,状态定义和之前的 121、122、309 号问题是一样的。

第 1 步:状态定义

dp[i][j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益。

这里 j 取两个值:

  • 0 表示不持股;
  • 1 表示持股。

第 2 步:状态转移方程

dp[i][0]:当天不持股,可以由昨天不持股和昨天持股转换而来。

昨天不持股,今天仍然不持股,则说明今天什么都没做。
昨天持股,今天不持股,则说明今天卖出了一股。思考到这里,这题有一个手续费,我们都规定,手续费在买入股票的时候,一起扣掉。也可以规定在卖出一股的时候,扣除手续费,前后统一即可。

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

dp[i][1]:当天持股,也可以由昨天不持股和昨天持股转换而来。

昨天不持股,今天持股,则说明今天买了一股,并且扣除了手续费。
昨天持股,今天仍然持股,则说明今天什么都没做。

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);

第 3 步:思考初始化

在第 0 天,不持股的初始化值为 0,持股的初始化值为 -prices[0] - fee(表示购买了一股且扣除了手续费)。

第 4 步:思考输出

每一天都由前面几天的状态转换而来,最优值在最后一天,并且是不持股的状态。

参考代码 1

Java 代码:

public class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int len = prices.length;
        if (len < 2) {
            return 0;
        }

        // dp[i][j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益'
        // j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
        // 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费
        int[][] dp = new int[len][2];

        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0] - fee;

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
        }
        return dp[len - 1][0];
    }
}

Python 代码:

from typing import List


class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        size = len(prices)

        if size < 2:
            return 0

        # dp[i][j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益
        # j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
        # 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费

        dp = [[0, 0] for _ in range(size)]
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0] - fee

        for i in range(1, size):
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee)
        return dp[-1][0]

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$,这里 $N$ 是股价数组的长度;
  • 空间复杂度:$O(N)$,状态数组有 $N$ 行,$2$ 列。$2$ 为常数,在计算复杂度的时候视为 $1$。

第 5 步:思考状态压缩

因为当前行总是参考上一行的值,可以使用滚动数组优化。

并且还注意到当前行是参考另一张表格上一行的值,因此直接把第 1 维砍掉都可以,并且计算状态的时候,因为是“螺旋”计算的,在状态转移的时候,这两行的顺序可以互换(这是我测试出来的,也没有想清楚是为什么,是测试数据比较弱,还是它真的就是这个道理呢?留个疑问给自己慢慢想)。

参考代码 2

Java 代码:

public class Solution {

    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int len = prices.length;
        if (len < 2) {
            return 0;
        }

        // j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
        // 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费
        int[] dp = new int[2];

        dp[0] = 0;
        dp[1] = -prices[0] - fee;

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]);
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i] - fee);
        }
        return dp[0];
    }
}

Python 代码:

from typing import List

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
        size = len(prices)

        if size < 2:
            return 0

        # dp[j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益
        # j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
        # 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费

        dp = [0, 0]
        dp[0] = 0
        dp[1] = -prices[0] - fee

        for i in range(1, size):
            dp[0] = max(dp[0], dp[1] + prices[i])
            dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i] - fee)
        return dp[0]

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$,这里 $N$ 是股价数组的长度;
  • 空间复杂度:$O(1)$,第一维被省去,只维护了 $2$ 个变量。

文章作者: liweiwei419
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