「力扣」第 714 题:买卖股票的最佳时机含手续费
给定一个整数数组
prices
,其中第i
个元素代表了第i
天的股票价格 ;非负整数fee
代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易,但是你每次交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票,在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
这道题虽然增加了“手续费”这件事情,但是并没有给决策阶段造成什么影响,只是不能用贪心算法了,但是动态规划依然可以用,状态定义和之前的 121、122、309 号问题是一样的。
第 1 步:状态定义
dp[i][j]
表示 [0, i]
区间内,到第 i
天(从 0
开始)状态为 j
时的最大收益。
这里 j
取两个值:
0
表示不持股;1
表示持股。
第 2 步:状态转移方程
dp[i][0]
:当天不持股,可以由昨天不持股和昨天持股转换而来。
昨天不持股,今天仍然不持股,则说明今天什么都没做。
昨天持股,今天不持股,则说明今天卖出了一股。思考到这里,这题有一个手续费,我们都规定,手续费在买入股票的时候,一起扣掉。也可以规定在卖出一股的时候,扣除手续费,前后统一即可。
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1]
:当天持股,也可以由昨天不持股和昨天持股转换而来。
昨天不持股,今天持股,则说明今天买了一股,并且扣除了手续费。
昨天持股,今天仍然持股,则说明今天什么都没做。
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
第 3 步:思考初始化
在第 0 天,不持股的初始化值为 0
,持股的初始化值为 -prices[0] - fee
(表示购买了一股且扣除了手续费)。
第 4 步:思考输出
每一天都由前面几天的状态转换而来,最优值在最后一天,并且是不持股的状态。
参考代码 1:
Java 代码:
public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int len = prices.length;
if (len < 2) {
return 0;
}
// dp[i][j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益'
// j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
// 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费
int[][] dp = new int[len][2];
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0] - fee;
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
}
return dp[len - 1][0];
}
}
Python 代码:
from typing import List
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
size = len(prices)
if size < 2:
return 0
# dp[i][j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益
# j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
# 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费
dp = [[0, 0] for _ in range(size)]
dp[0][0] = 0
dp[0][1] = -prices[0] - fee
for i in range(1, size):
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee)
return dp[-1][0]
复杂度分析:
- 时间复杂度:$O(N)$,这里 $N$ 是股价数组的长度;
- 空间复杂度:$O(N)$,状态数组有 $N$ 行,$2$ 列。$2$ 为常数,在计算复杂度的时候视为 $1$。
第 5 步:思考状态压缩
因为当前行总是参考上一行的值,可以使用滚动数组优化。
并且还注意到当前行是参考另一张表格上一行的值,因此直接把第 1 维砍掉都可以,并且计算状态的时候,因为是“螺旋”计算的,在状态转移的时候,这两行的顺序可以互换(这是我测试出来的,也没有想清楚是为什么,是测试数据比较弱,还是它真的就是这个道理呢?留个疑问给自己慢慢想)。
参考代码 2:
Java 代码:
public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int len = prices.length;
if (len < 2) {
return 0;
}
// j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
// 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费
int[] dp = new int[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = -prices[0] - fee;
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] + prices[i]);
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i] - fee);
}
return dp[0];
}
}
Python 代码:
from typing import List
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int], fee: int) -> int:
size = len(prices)
if size < 2:
return 0
# dp[j] 表示 [0, i] 区间内,到第 i 天(从 0 开始)状态为 j 时的最大收益
# j = 0 表示不持股,j = 1 表示持股
# 并且规定在买入股票的时候,扣除手续费
dp = [0, 0]
dp[0] = 0
dp[1] = -prices[0] - fee
for i in range(1, size):
dp[0] = max(dp[0], dp[1] + prices[i])
dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i] - fee)
return dp[0]
复杂度分析:
- 时间复杂度:$O(N)$,这里 $N$ 是股价数组的长度;
- 空间复杂度:$O(1)$,第一维被省去,只维护了 $2$ 个变量。